Треугольники3

Пропорциональные отрезки
Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам MN и KF, если
AB:CD=MN:KF

Два треугольника называются подобными, если их углы равны и стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого.

Первый признак подобия треугольников: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Дано: △ABC; △MNK; ∠A=∠M; ∠C=∠K 
Доказать: △ABC∾△MNK
Итак, ∠B=180°-(∠A+∠C); ∠N=180°-(∠M+∠K) (по сумме углов треугольника); ∠A=∠M; ∠C=∠K (по условию) ⇒ ∠B=∠N

т.к. ∠A=∠M ⇒ S△ABC:S△MNK=AB*AC:MN*MK (по теореме об отношении площадей двух  треугольников,  имеющих по равному углу)   ☼

∠С=∠K ⇒  S△ABC:S△MNK = AC*BC:NK*MK (аналогично) ☼☼

Из ☼ и ☼☼ ⇒ AB*AC:MN*MK = AC*BC:NK*MK ⇒

AB:MN=AC:MK  1) 

∠B=∠N ⇒ S△ABC:S△MNK = AB*BC:MN*NK (аналогично)   ☼☼☼

Из ☼ и ☼☼☼ ⇒ AB*AC:MN*MK = AB*BC:MN*NK ⇒

BC:NK=AC:MK  2)

Из 1) и 2) ⇒ AB:MN=AC:MK=BC:NK, то есть углы треугольников равны, а стороны пропорциональны, значит

△ABC∾△MNK (по определению подобных треугольников) ч.т.д.

Второй признак подобия треугольников: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Дано: △ABC; △MNK; ∠A=∠M; AB:MN=AC:MK
Доказать:  △ABC∾△MNK

Построим ∠CAO=∠M и ∠ACE=∠K ; AO⋂CE=B1 ⇒ △AB1C∾△MNK (по 1 признаку) ⇒ сходственные стороны пропорциональны ⇒ AB1:MN=AC:MK, а т.к. AB:MN=AC:MK (по условию) ⇒ AB1=AB

Рассмотрим △AB1C и △ABC

AB1=AB (по доказанному); AC-общая;  ∠CAB1=∠BAC=∠M  ⇒

△AB1C =△ABC (по 1 признаку) ⇒ соответственные элементы равны ⇒ ∠BCA=∠B1CA (лежат против равных сторон AB и AB1) ⇒ ∠BCA=∠K (∠B1CA=∠K-по построению)

∠A=∠M (по условию); ∠C=∠K (по доказанному) ⇒ △ABC∾△MNK (по 1 признаку)  ч.т.д.

Третий признак подобия треугольников: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Дано: △ABC; △MNK; AB:MN=BC:NK=AC:MK
Доказать: △ABC∾△MNK

Построим ∠CAO=∠M и ∠ACE=∠K ; AO⋂CE=B1 ⇒ △AB1C∾△MNK (по 1 признаку) ⇒ сходственные стороны пропорциональны ⇒ AB1:MN=CB1:NK=AC:MK ; AB:MN=CB:NK=AC:MK (по условию) ⇒ AB=AB1; CB1=BC, а т.к. AC-общая ⇒ △AB1C =△ABC (по 1 признаку) ⇒ соответственные элементы равны ⇒ ∠BCA=∠B1CA (лежат против равных сторон AB и AB1); ∠BAC=CAB1 (лежат против равных сторон BC и B1C); ∠CAB1=∠M; ∠ACB1=∠K ⇒

∠A=∠M и ∠C=∠K ⇒ △ABC∾△MNK (по 1 признаку)  ч.т.д.

Стороны двух подобных треугольников  лежащие напротив равных углов называются сходственными.

Отношение площадей подобных треугольников: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. (Коэффициент подобия - Отношение двух сходственных сторон  треугольников)

Дано: △ABC∾△MNK; AB:MN=k

Доказать: S△ABC:S△MNK=k²

Т.к. △ABC∾△MNK, то их углы равны (по определению подобных треугольников)  ⇒ ∠A=∠M  ⇒  S△ABC:S△MNK=AC*AB:MK*MN=k*k=k² (AC:MK=k  т.к. они сходственные; по теореме об отношении площадей двух треугольников, имеющих по равному углу)

Отношение  периметров подобных треугольников: Отношение периметров двух подобных треугольников равно  коэффициенту подобия.

Дано: △ABC∾△MNK; AB:MN=BC:NK=AC:MK=k
Доказать: P△ABC:P△MNK=k
Итак, AB:MN=k ⇒ AB=k*MN
BC:NK=k ⇒ BC=k*NK
AC:MK=k ⇒AC=k*MK
P△ABC:P△MNK=(AB+BC+AC):(MN+NK+MK) ⇒ P△ABC:P△MNK=(k*MN+k*NK+k*MK ):(MN+NK+MK) ⇒
P△ABC:P△MNK=k(MN+NK+MK):(MN+NK+MK) ⇒ P△ABC:P△MNK=k
ч.т.д.

Теорема Пифагора:
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано:△ABC; ∠C=90°; CB=a; AC=b; AB=c

Доказать: с²=a²+b²

Итак, на продолжении стороны BC откладываем отрезок BH=AC=b; строим HQ⊥CH и HQ=CB=a  ⇒ △ABC=△BQH (по двум катетам) ⇒ ∠CAB=∠QBH; ∠CBA=∠BQH (как соответственные элементы) ⇒ ∠CBA+∠QBH=∠CBA+∠CAB=90° ⇒ ∠ABQ=90°(по сумме острых углов прямоугольного треугольника)

Построим AQ

BH=AC=b; QH=CB=a

AC⊥CH; QH⊥CH ⇒ AC॥ QH ⇒ ACHQ-прямоугольная трапеция.

SACHQ=0,5(AC+QH)*CH ⇒ SACHQ=0,5(a+b)(a+b)=0,5(a+b)² (1)

SACHQ=S△ABC+S△BHQ+S△ABQ ⇒ SACHQ=0,5ab+0,5ab+0,5c² (2)

Из (1) и (2) ⇒ 0,5(a+b)²=0,5ab+0,5ab+0,5c² 

(a+b)²=ab+ab+c²

a²+2ab+b²=2ab+c²

c²=a²+b²

ч.т.д.


Теорема, обратная теореме Пифагора:
Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Дано: △ABC; AB²=AC²+BC²
Доказать: ∠С=90°
Итак, построим △MNK так, что: ∠N=90° ; MN=AC; NK=CB
Т.к. ∠N=90°, то в △MNK можно применить теорему Пифагора, тогда:
MK²=MN²+NK² ⇒ MK²=AC²+BC² т.к. AC=MN; NK=CB (по построению), а AB²=AC²+BC² (по условию) ⇒ AB²=MK² ⇒
AB=MK
AB=MK (по доказанному) ; MN=AC (по построению); NK=CB (по построению) ⇒ △ABC=△MNK (по 3 признаку) ⇒ соответственные элементы равны ⇒ ∠N=∠C=90° ч.т.д.


"Замечательные точки" треугольника:
Высоты треугольника ( их продолжения ) пересекаются в одной точке. Точка пересечения высот треугольника называется ортацентром

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения биссектрис треугольника-центр вписанной окружности

Серединные перпендикуляры пресекаются в одной точке.

Точка пересечения серединных перпендикуляров-центр описанной окружности

Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Точка пересечения медиан треугольника называется центром тяжести

Теорема Менелая:

Если на сторонах  AB, BC и продолжении AC взять соответственно точки C1, A1, B1, то эти точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда:
AC1:C1B * BA1:A1C * CB1:B1A=1

Дано:△ABC, C1∈AB, A1∈BC, B1∈AC, a∩AB=C1, a∩BC=A1, a∩AC=B1

Доказать: AC1:C1B * BA1:A1C * CB1:B1A=1

Через точку С проведем f ॥ AB ; f ∩A1B1=O

Рассмотрим △С1BA1 и △A1CO:

∠C1A1B=∠CA1O (вертикальные), ∠BC1A1=∠A1OC (накрест лежащие при f ॥ AB  и секущей С1O) ⇒  △С1BA1∾△A1CO (по 1 признаку) ⇒ сходственные стороны пропорциональны ⇒
BA1:A1C=C1B:CO ⇒ СO=A1C*C1B:BA1 (1)

Рассмотрим △AC1B1 и △COB1:
∠B1-общий, ∠C=∠A (соответственные при f ॥ AB и секущей AC) ⇒ △AC1B1∾△COB1 (по 1 признаку) ⇒ сходственные стороны пропорциональны ⇒ СO:AC1=CB1:AB1 ⇒ CO=AC1*CB1:AB1 (2)
Из(1) и (2) ⇒ A1C*C1B:BA1 = AC1*CB1:AB1 ⇒ A1C*C1B*AB1 : BA1*AC1*CB1=1 (свойство пропорции) ⇒
BA1:A1C * AC1:C1B * CB1:AB1=1 ⇒
AC1:C1B * BA1:A1C * CB1:B1A=1  ч.т.д.