Четырехугольники

1. Многоугольник.

Рассмотрим фигуру, составленную из отрезков AB, BC, CD, ..., EF, FA так, что смежные отрезки (т.е. отрезки AB и BC, BC и CD, ..., FA и AB) не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек. Такая фигура называется многоугольником. Точки A, B, C, ..., E, F называются вершинами, а отрезки AB, BC, CD, ..., EF, FA - сторонами многоугольника. Сумма длин всех сторон называется периметром многоугольника.

Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются соседними. Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника.

2. Четырехугольник.


Каждый четырехугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и две диагонали. Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными. Две вершины, не являющиеся соседними, также называются противоположными.

3. Параллелограмм.

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.



Свойства параллелограмма.

1) В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны
Рассмотрим параллелограмм ABCD. Диагональ AC разделяет его на два треугольника: ABC и ADC. Эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам (AC – общая сторона, угол 1 равен углу 2 и угло 3 равен углу 4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых  AB и CD, AD и BC соответственно). Поэтому AB=CD, AD=BC, и угол B равен углу D.

Далее, пользуясь равенствами углов 1 и 2, 3 и 4, получаем угол A равен сумме углов 1 и 3, а значит и сумме углов 2 и 4, которая равна углу C.

2) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Пусть О – точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD. Треугольники AOB и COD равны по стороне и двум прилежащим углам (AB=CD как противоположные стороны параллелограмма, угол 1 равен углу 2 и угол 3 равен углу 4 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущими AC и BD соответственно). Поэтому AO=OC и OB=OD, что и требовалось доказать.


Признаки параллелограмма.
1) Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.
Пусть в четырехугольнике ABCD стороны AB и CD параллельны и AB=CD.
Проведем диагональ AC, разделяющую данный четырехугольник на два треугольника: ABC и CDA. Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (AC – общая сторона, AB=CD по условию, угол 1 равен углу 2 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей AC), поэтому угол 3 равен углу 4. Но углы 3 и 4 накрест лежащие при пересечении прямых AD и BC секущей AC, следовательно, AD параллельна BC  .

Таким образом, в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырехугольник ABCD – параллелограмм.

2) Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.
Проведем диагональ AC данного четырехугольника ABCD, разделяющую его на треугольники ABC и CDA. Эти треугольники равны по трем сторонам (AC – общая сторона, AB=CD и BC=DA по условию), поэтому угол 1 равен углу 2. Отсюда следует, что AB параллельна CD. Так как AB=CD и AB параллельна CD, то по первому признаку четырехугольник ABCD – параллелограмм.

3) Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.
Рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором диагонали AC и BD пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам. Треугольники AOB и COD равны по первому признаку равенства треугольников (AO=OC, BO=OD по условию, угол AOB равен углу COD как вертикальные углы), поэтому AB=CD и угол 1 равен углу 2. Из равенства углов 1 и 2 следует, что AB параллельна CD.

Итак, в четырехугольнике ABCD стороны AB и CD равны и параллельны, значит, по первому признаку четырехугольник ABCD – параллелограмм.

4. Прямоугольник.


Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.


Свойство прямоугольника.
Диагонали прямоугольника равны.
Рассмотрим прямоугольник ABCD с диагоналями AC и BD. Прямоугольные треугольники ACD и DBA равны пот двум катетам (CD=BA, AD – общий катет). Отсюда следует, что гипотенузы этих треугольников равны, т.е. AC=BD, что и требовалось доказать.


Признак прямоугольника.
Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм - прямоугольник.
Пусть в параллелограмме ABCD диагонали AC и BD равны. Треугольники ABD и DCA равны по трем сторонам (AB=DC, BD=CA, AD – общая сторона). Отсюда следует, что угол A равен углу D. Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то угол A равен углу C и угол B равен углу D. Таким образом, углы A, B, C, D равны. Параллелограмм – выпуклый четырехугольник, поэтому сумма всех углов равна 3600. Следовательно, каждый угол равен 900, т.е. параллелограмм ABCD является  прямоугольником.


5. Ромб.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.


Свойство ромба.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
Рассмотрим ромб ABCD. Требуется доказать, что AC перпендикулярна BD и каждая диагональ делит соответствующие углы ромба пополам. Докажем, например, что угол BAC равен углу DAC.

По определению ромба AB=AD, поэтому треугольник BAD равнобедренный. Так как ромб – параллелограмм, то его диагонали точкой O пересечения делятся пополам. Следовательно, AO – медиана равнобедренного треугольника BAD, а значит, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому AC перпендикулярна BD и угол BAC равен углу DAC, что и требовалось доказать.

6. Квадрат.

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата.
1) Все углы квадрата прямые.
2) Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.


7. Трапеция.


Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.
Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а две другие стороны - боковыми сторонами.


Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.
Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.