Треугольники

Треугольник-это геометрическая фигура, состоящая из трех соединенных между собой точек (вершин), не лежащих на одной прямой.

Виды треугольников по углам:
Остроугольный-это треугольник, все углы которого острые (то есть градусная мера каждого угла меньше 90º-ABC).
Прямоугольный-это треугольник, у которого один угол прямой (то есть имеет градусную меру 90º-DEF).
Тупоугольный-это треугольник, у которого один угол — тупой (то есть имеет градусную меру больше 90º-GHI).

Виды треугольников по сторонам:
Разносторонний-треугольник, все стороны которого имеют разную длину.(ABC)
Равносторонний- это треугольник, у которого все три стороны равны.(DEF)
Равнобедренный-это треугольник, у которого две стороны равны.(GHI)


Медиана, биссектриса, высота треугольника.

Медиана треугольника- это отрезок соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Биссектриса треугольника
- это отрезок соединяющий вершину треугольника с противоположной стороной, делящий угол пополам.
Высота треугольника
- это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей                          противоположную сторону.

Первый признак равенства треугольников: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Рассмотрим треугольники ABC и MNK, у которых AB=MN, AC=MK, углы А и М равны. Докажем, что треугольник ABC равен треугольнику MNK
Т.к. угол А равен углу М, то треугольник ABC можно наложить на треугольник MNK так, что вершина А совместится с вершиной M, а стороны AB и AC наложатся соответственно на лучи MN и MK. Поскольку AB=MN, AC=MK, то сторона AВ совместится со стороной MN,а сторона AC- со стороной MK; в частности, совместятся точки B и N, C и K. Следовательно, совместятся стороны BC и NK. Итак, треугольники полностью совместятся, значит, они равны ч.т.д.

Второй признак равенства треугольников: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны
Рассмотрим треугольники ABC и MNK у которых AB=MN, равны углы A и M; B и N. Докажем, что треугольник ABC равен треугольнику MNK .
Наложим треугольник ABC на треугольник MNK так, чтобы вершина A совместилась с вершиной M, сторона AB c равной ей стороне MN, а вершина С и K оказались по одну сторону от прямой MN. Так как равны углы A и M; B и N, то сторона АС наложится на луч MK, а сторона BC – на луч NK.Поэтому вершина С- общая точка сторон AC и BC- окажется лежащей как на луче MK, так и на луче NK и,  следовательно, совместятся с общей точкой этих лучей – вершиной
K. Значит, совместятся стороны AC и MK; BC и NK
Итак, треугольник ABС равен треугольнику MNK ч.т.д.



Третий признак равенства треугольников: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.



Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника: В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) против большего угла лежит большая сторона.

1) Дано: △ABC; AB>AC
Доказать: ∠C >∠B
Отложим на стороне AB отрезок AD, который равен AC и соединим DC.
∠ACD =∠ADC (углы при основании равнобедренного треугольника ADC)
∠ADC - внешний угол треугольника BDC ⇒ ∠ADC=∠B+∠DCB
⇒ ∠ADC>∠B
Таким образом, ∠C >∠ACD, ∠ACD =∠ADC, ∠ADC>∠B ⇒ ∠ACD>∠B ⇒ ∠C >∠B  ч.т.д.

2) Дано: △ABC; ∠C>∠B
Доказать: AB>AC
Предположим, что это не так. Тогда возможно два случая:
В первом случае △ABC-равнобедренный т.е. ∠C=∠B (△A1B1C)
Во втором случае ∠C<∠B (против большей стороны лежит больший угол).(△A2B2C2) Оба случая противоречат условию    ∠C >∠B
⇒ Наше предположение неверно ⇒ AB>AC  ч.т.д.


Следствие 1
В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета. (Так и есть, ведь гипотенуза лежит против прямого угла, а катет напротив острого угла, а т.к. прямой угол больше острого, то и гипотенуза больше катета)


Следствие 2
Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).

Итак, если равны два угла, то противолежащие стороны тоже равны. Можно предположить, что стороны не равны, но тогда противолежащие углы тоже не равны (против большей стороны лежит больший угол) , что перечит условию ⇒ треугольник-равнобедренный.



Сумма углов треугольника равна 180°

Итак, рассмотрим произвольный треугольник ABC и докажем, что ∠A+∠B+∠C=180°
Проведем через вершину В  прямую FD параллельную стороне АС. ∠BAC=∠ABF; ∠ACB=∠CBD (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AC и FD и секущих АВ и BC ) (1)
Очевидно, что ∠ABF+∠ABC+∠CBD=180°(т.к. это развернутый угол). Из условия (1) получаем, что ∠ABC+∠BAC+∠BCA=180° ч.т.д.



Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Пусть S-площадь ABC; AC-основание треугольника; BD-высота проведенная к основанию.
Доказать, что S=0,5AC*BD
Достроим △ABC до параллелограмма ABEC (т.е. AB=CE; AC=BE; AB॥CE; AC॥BE
Рассмотрим △ABC и △BEC:

AC=BE (по построению); AB=CE (по построению); BC-общая

 ⇒ △ABC=△BEC (по 3 признаку)

Следовательно, площадь треугольника ABC равна половине площади параллелограмма ABCD т.к SABCD  = S△ABC+S△BEC = =2S△ABC ; SABCD=AC *BD (площадь параллелограмма) ⇒ S△ABC=0,5AC*BD  ч.т.д.




Следствие1  Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Следствие 2 Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

Теорема: Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведение сторон, заключающих равные углы.

Дано:△ABC; △MNK; ∠A=∠M
Доказать: S△ABC : S△MNK=AB*AC : MN*MK
Наложим △MNK на △ABC, так чтобы совпали лучи AB и MN;
MK и AC, точки A и M ( это можно сделать т.к. ∠A=∠M )
Соединим BK
Построим  BH⊥AC, который является высотой для △ABC и △ABK, тогда:
S△ABC : S△ABK= 0,5AC*BH : 0,5AK*BH=AC:AK (по площади треугольника) (1)
Построим KF⊥AN, который является высотой для △MNK и  △ABK, тогда:
S△ABK : S△MNK = 0,5AB*KF : 0,5MN*KF=AB:MN (аналогично) (2)
Из (1) и (2) ⇒ S△ABC : S△ABK * S△ABK : S△MNK = AC:AK * AB:MN  ⇒  S△ABC : S△MNK=AB*AC : MN*MK  ч.т.д.


 Теорема:
Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Дано: △ABC; BD-биссектриса
Доказать: AD:AB=DC:BC
Итак, т.к. ∠ABD=∠DBC, то S△ABD:S△BDC=AB*BD:BD*BC ⇒ S△ABD:S△BDC=AB:BC ( по теореме об оотношении площадей двух треугольников, имеющих по равному углу) (1)
Построим BH⊥AC
S△ABD:S△BDC=0,5AD*BH:0,5DC*BH ⇒ S△ABD:S△BDC=AD:DC (по теореме о площади треугольника) (2)
Из (1) и (2) ⇒ AB:BC = AD:DC  ⇒ AD:AB=DC:BC ч.т.д.


Средняя линия треугольника - это отрезок, соединяющий середины двух  его сторон. (DE)


Теорема о средней линии треугольника:
Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна половине этой стороны.

Дано:△ABC; AM=MB; BN=NC (MN-средняя линия △ABC)
Доказать:1) MN॥ AC ;  2) MN=0,5AC
1) Через точку С проведем прямую k ॥ AB; MN ∩ k =E
Рассмотрим △MBN и △NCE:
NC=BN (по условию); ∠MNB=∠CNE (вертикальные); ∠NCE=∠MBN (накрест лежащие при k ॥ AB и секущей BC)
⇒ △MBN =△NCE (по 2 признаку) ⇒ соответственные элементы равны ⇒ CE=MB=AM, а т.к. AM ॥ CE ⇒ AMEC-параллелограмм (по 1 признаку) ⇒ ME ॥ AC (противоположные стороны параллелограмма)  ⇒ MN॥ AC ч.т.д.
2) MN=NE (соответственные, лежат против равных углов B и C) ⇒ ME=2MN, а т.к. ME=AC (противоположные стороны параллелограмма) ⇒ MN=0,5AC  ч.т.д.


Пропорциональные отрезки
Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам MN и KF, если
AB:CD=MN:KF

Два треугольника называются подобными, если их углы равны и стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого.

Первый признак подобия треугольников: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Дано: △ABC; △MNK; ∠A=∠M; ∠C=∠K 
Доказать: △ABC∾△MNK
Итак, ∠B=180°-(∠A+∠C); ∠N=180°-(∠M+∠K) (по сумме углов треугольника); ∠A=∠M; ∠C=∠K (по условию) ⇒ ∠B=∠N
т.к. ∠A=∠M ⇒ S△ABC:S△MNK=AB*AC:MN*MK (по теореме об отношении площадей двух  треугольников,  имеющих по равному углу)  
∠С=∠K ⇒  S△ABC:S△MNK = AC*BC:NK*MK (аналогично)
Из и ⇒ AB*AC:MN*MK = AC*BC:NK*MK ⇒
AB:MN=AC:MK  1) 
∠B=∠N ⇒ S△ABC:S△MNK = AB*BC:MN*NK (аналогично)   ☼☼☼
Из и ⇒ AB*AC:MN*MK = AB*BC:MN*NK ⇒
BC:NK=AC:MK  2)
Из 1) и 2) ⇒ AB:MN=AC:MK=BC:NK, то есть углы треугольников равны, а стороны пропорциональны, значит
△ABC∾△MNK (по определению подобных треугольников) ч.т.д.

Второй признак подобия треугольников: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Дано: △ABC; △MNK; ∠A=∠M; AB:MN=AC:MK
Доказать:  △ABC∾△MNK
Построим ∠CAO=∠M и ∠ACE=∠K ; AO⋂CE=B1 ⇒ △AB1C∾△MNK (по 1 признаку) ⇒ сходственные стороны пропорциональны ⇒ AB1:MN=AC:MK, а т.к. AB:MN=AC:MK (по условию) ⇒ AB1=AB
Рассмотрим △AB1C и △ABC
AB1=AB (по доказанному); AC-общая;  ∠CAB1=∠BAC=∠M  ⇒
△AB1C =△ABC (по 1 признаку) ⇒ соответственные элементы равны ⇒ ∠BCA=∠B1CA (лежат против равных сторон AB и AB1) ⇒ ∠BCA=∠K (∠B1CA=∠K-по построению)
∠A=∠M (по условию); ∠C=∠K (по доказанному) ⇒ △ABC∾△MNK (по 1 признаку)  ч.т.д.

Третий признак подобия треугольников: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Дано: △ABC; △MNK; AB:MN=BC:NK=AC:MK
Доказать: △ABC∾△MNK
Построим ∠CAO=∠M и ∠ACE=∠K ; AO⋂CE=B1 ⇒ △AB1C∾△MNK (по 1 признаку) ⇒ сходственные стороны пропорциональны ⇒ AB1:MN=CB1:NK=AC:MK ; AB:MN=CB:NK=AC:MK (по условию) ⇒ AB=AB1; CB1=BC, а т.к. AC-общая ⇒ △AB1C =△ABC (по 1 признаку) ⇒ соответственные элементы равны ⇒ ∠BCA=∠B1CA (лежат против равных сторон AB и AB1); ∠BAC=CAB1 (лежат против равных сторон BC и B1C); ∠CAB1=∠M; ∠ACB1=∠K ⇒
∠A=∠M и ∠C=∠K ⇒ △ABC∾△MNK (по 1 признаку)  ч.т.д.

Стороны двух подобных треугольников  лежащие напротив равных углов называются сходственными.

Отношение площадей подобных треугольников: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. (Коэффициент подобия - Отношение двух сходственных сторон  треугольников)

Дано: △ABC∾△MNK; AB:MN=k
Доказать: S△ABC:S△MNK=k²
Т.к. △ABC∾△MNK, то их углы равны (по определению подобных треугольников)  ⇒ ∠A=∠M  ⇒  S△ABC:S△MNK=AC*AB:MK*MN=k*k=k² (AC:MK=k  т.к. они сходственные; по теореме об отношении площадей двух треугольников, имеющих по равному углу)


Отношение  периметров подобных треугольников: Отношение периметров двух подобных треугольников равно  коэффициенту подобия.

Дано: △ABC∾△MNK; AB:MN=BC:NK=AC:MK=k
Доказать: P△ABC:P△MNK=k
Итак, AB:MN=k ⇒ AB=k*MN
BC:NK=k ⇒ BC=k*NK
AC:MK=k ⇒AC=k*MK
P△ABC:P△MNK=(AB+BC+AC):(MN+NK+MK) ⇒ P△ABC:P△MNK=(k*MN+k*NK+k*MK ):(MN+NK+MK) ⇒
P△ABC:P△MNK=k(MN+NK+MK):(MN+NK+MK) ⇒ P△ABC:P△MNK=k
ч.т.д.


Теорема Пифагора:
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.


Дано:△ABC; ∠C=90°; CB=a; AC=b; AB=c
Доказать: с²=a²+b²
Итак, на продолжении стороны BC откладываем отрезок BH=AC=b; строим HQ⊥CH и HQ=CB=a  ⇒ △ABC=△BQH (по двум катетам) ⇒ ∠CAB=∠QBH; ∠CBA=∠BQH (как соответственные элементы) ⇒ ∠CBA+∠QBH=∠CBA+∠CAB=90° ⇒ ∠ABQ=90°(по сумме острых углов прямоугольного треугольника)
Построим AQ
BH=AC=b; QH=CB=a
AC⊥CH; QH⊥CH ⇒ AC॥ QH ⇒ ACHQ-прямоугольная трапеция.
SACHQ=0,5(AC+QH)*CH ⇒ SACHQ=0,5(a+b)(a+b)=0,5(a+b)² (1)
SACHQ=S△ABC+S△BHQ+S△ABQSACHQ=0,5ab+0,5ab+0,5c² (2)
Из (1) и (2) ⇒ 0,5(a+b)²=0,5ab+0,5ab+0,5c² 
(a+b)²=ab+ab+c²
a²+2ab+b²=2ab+c²
c²=a²+b²
ч.т.д.


Теорема, обратная теореме Пифагора:
Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Дано: △ABC; AB²=AC²+BC²
Доказать: ∠С=90°
Итак, построим △MNK так, что: ∠N=90° ; MN=AC; NK=CB
Т.к. ∠N=90°, то в △MNK можно применить теорему Пифагора, тогда:
MK²=MN²+NK² ⇒ MK²=AC²+BC² т.к. AC=MN; NK=CB (по построению), а AB²=AC²+BC² (по условию) ⇒ AB²=MK² ⇒
AB=MK
AB=MK (по доказанному) ; MN=AC (по построению); NK=CB (по построению) ⇒ △ABC=△MNK (по 3 признаку) ⇒ соответственные элементы равны ⇒ ∠N=∠C=90° ч.т.д.


"Замечательные точки" треугольника:
Высоты треугольника ( их продолжения ) пересекаются в одной точке. Точка пересечения высот треугольника называется ортацентром


Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения биссектрис треугольника-центр вписанной окружности


Серединные перпендикуляры пресекаются в одной точке.
Точка пересечения серединных перпендикуляров-центр описанной окружности


Медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Точка пересечения медиан треугольника называется центром тяжести


Теорема Менелая:
Если на сторонах  AB, BC и продолжении AC взять соответственно точки C1, A1, B1, то эти точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда:
AC1:C1B * BA1:A1C * CB1:B1A=1


Дано:△ABC, C1∈AB, A1∈BC, B1∈AC, a∩AB=C1, a∩BC=A1, a∩AC=B1

Доказать: AC1:C1B * BA1:A1C * CB1:B1A=1

Через точку С проведем f ॥ AB ; f ∩A1B1=O

Рассмотрим △С1BA1 и △A1CO:

∠C1A1B=∠CA1O (вертикальные), ∠BC1A1=∠A1OC (накрест лежащие при f ॥ AB  и секущей С1O) ⇒  △С1BA1∾△A1CO (по 1 признаку) ⇒ сходственные стороны пропорциональны ⇒
BA1:A1C=C1B:CO ⇒ СO=A1C*C1B:BA1 (1)

Рассмотрим △AC1B1 и △COB1:
∠B1-общий, ∠C=∠A (соответственные при f ॥ AB и секущей AC) ⇒ △AC1B1∾△COB1 (по 1 признаку) ⇒ сходственные стороны пропорциональны ⇒ СO:AC1=CB1:AB1 ⇒ CO=AC1*CB1:AB1 (2)
Из(1) и (2) ⇒ A1C*C1B:BA1 = AC1*CB1:AB1 ⇒ A1C*C1B*AB1 : BA1*AC1*CB1=1 (свойство пропорции) ⇒
BA1:A1C * AC1:C1B * CB1:AB1=1 ⇒
AC1:C1B * BA1:A1C * CB1:B1A=1  ч.т.д.